歌詞

作詞（？）に関与したもの

「判別式のうた」

-4a³c + a²b² + 18abc - 4b³ - 27c²

「小さなイプシロン」

任意の正のイプシロン   小さなイプシロン
とあるデルタが存在し   次が満たされる
任意の x と y に対し   差がデルタ以下ならば
f(x) と f(y) の   差はイプシロン以下
このとき関数 f は   一様連続
英語で uniformly continuous
閉区間上連続ならば   一様連続

解説：「判別式のうた」

最高次係数が 1 である 3 次多項式 x³ + a x² + b x + c が (x-α)(x-β)(x-γ) と分解するとき， D = (α-β)²(β-γ)²(γ-α)² のことをこの 3 次多項式の 判別式 とよびます． これは a,b,c の多項式として表すことができ， D = -4a³c + a²b² + 18abc - 4b³ - 27c² となります． この歌を歌うことでこの式を簡単に覚えられます．

定義から明らかに，もとの多項式が重根をもつことと判別式が 0 になることが同値になります． この性質のため，例えば楕円曲線や楕円曲面の研究において判別式は重要な役割を担います． なお，一般に最高次係数が 1 と限らない場合にどう定義するかはここでは省略します．

おそらく多くの人におなじみなのは，（最高次係数が 1 と限らない）2 次多項式 a x² + b x + c = a(x-α)(x-β) の 判別式 D = a² (α-β)² = b² - 4ac の方でしょうか．

解説：「小さなイプシロン」

4行目までがだいたい一様連続性の定義になっています，よく見るとデルタが正であることを言い忘れていますが． 7行目は定理です（閉区間は有界だと思ってください）．証明は読者の演習問題とします．

yos氏のページに合唱版楽譜および音声ファイルがあります．